بدون اینکه به سبک شکسپیر بنویسیم
اگر میمون ها مجبور بودند تا ابد مشغول تایپ کردن باشند ، نهایتاً قادر بودند تمام آثار ادبی شکسپیر را بنویسند. البته نه میمون  های ما! ممکن است آنها تا ابد تایپ کنند ولی باز هم نمی  توانند شیوۀ مخصوص نگارش هر شاعر را رعایت کنند. ابدیت اجازۀ چنین احتمالی را می  دهد زیرا به طور مثال ، تعداد  بی نهایتی از اعداد ممکن است تمامی اعدادی که وجود دارند نباشد. در واقع وقتی صحبت از ابدیت می  شود ، ما همه جا و همه زمان حضور آن را مشاهده می  کنیم با معما های گیج کننده اش برای فلاسفه.

ابتدا به میمون ها می  پردازیم
فیزیک دانان – مانند پاول دیویس که فیزیک دان و ریاضی دانی مطرح بود – تأکید می  کنند که اگر جهان طول عمر  بی نهایتی داشته باشد ، "تمام فرآیند  های فیزیکی ، هر چقدر هم که آرام و یا غیرممکن باشند ، باید نهایتاً زمانی رخ دهند." که شامل مثال مطرح شده در مورد میمون ها نیز می  شود. اگر جهان تا ابد ادامه داشته باشد و چنین نظریه ای صحیح باشد ، نتایج جالبی حاصل می  شود: همۀ شرکت کنندگان در مسابقات لاتاری نهایتاً به بهترین جایزه ها خواهند رسید؛ هرگز یک بحران مالی جهانی به وجود نخواهد آمد و خوک ها پرواز خواهند کرد. البته وقتی به مورد آخری فکر می  کنیم ، به گفته  های دانشمندان شک می  کنیم.
شاید دانشمندان یک منظور تخصصی از کلمۀ "ابدیت" داشته باشند. ولی این موضوع مانع نمی  شود که ما با استفاده از معانی عادی لغات نتایج ساده و صحیحی را مانند  آنچه در بالا گفته شد ، بیان نکنیم. "ابدیت" به معنای بدون پایان بودن است. تنها به این دلیل که یک توالی از رخ داد های مختلف همواره رخ می  دهد – بدون پایان ، تا  بی نهایت – نمی  توانیم نتیجه بگیریم که تمام رخ داد های ممکن باید زمانی رخ دهند. روی دادها می  توانند تا  بی نهایت تکرار شوند. از لحاظ منطقی امکان پذیر است که تینکربل ، یک اسب مسابقه ، فردا در مسابقۀ ساعت سه ونیم برنده شود. ولی اگر فردا پای تینکربل در لحظات پایانی پیچ بخورد و او برنده نشود ، هیچ چیز در دنیا ، حتی اگر  بی پایان باشد ، نمی  تواند برنده شدن احتمالی او را تحقق ببخشد. در یک مادۀ رادیواکتیو اتم ها به صورت تصادفی از بین می  روند؛ اگرچه این احتمال وجود دارد که یک اتم در زمان خاصی از بین نرود ، اگر از بین برود ، احتمال منطقی از بین نرفتنش دیگر امکان پذیر نیست.
از میمون ها گذشتن – گذشتن؟
زنو ، فیلسوف متخصص پارادوکس ها در یونان باستان ، قصه ای راجع به آشیل و یک لاک پشت تعریف می  کند. آنها مسابقۀ دو می  دهند و آشیل شکست می  خورد ، با وجود اینکه سریع ترین دوندۀ دوران خود است. او شکست می  خورد ، نه به این دلیل که وسط مسیر خوابش می  برد یا مسیر اشتباهی را می  رود ، بلکه به این دلیل که لاک پشت کمی جلوتر از او مسابقه را شروع کرده است. همین مقدار جلوتر بودن در آغاز مسابقه ، باعث ایجاد مشکل می  شود.
صحنه را تصور کنید. پیش از اینکه آشیل بتواند مسابقه را ببرد ، بایستی از لاک پشت جلو بزند؛ و قبل از اینکه بتواند این کار را انجام دهد ، باید به نقطۀ شروع لاک پشت برسد. تفنگ شروع مسابقه آتش می  شود. آشیل به سمت لاک پشت می  رود ، ولی وقتی به نقطۀ شروع لاک پشت می  رسد ، لاک پشت کمی جلوتر رفته است. و این اتفاق تکرار می  شود. فواصل ایجاد شده بین آشیل و لاک پشت به مرور کم وکمتر می  شود – به هر حال لاک پشت آرام تر از آشیل حرکت می  کند – ولی در هر صورت این فواصل وجود دارند. اگرچه این فواصل از نظر اندازه کاهش می  یابند ، ولی تعداد آنها  بی نهایت است.
به عنوان مثالی واضح تر فرض کنید در حال حرکت به سمت دیوار مقابل خود هستید. برای این کار باید به نیمۀ فاصلۀ خود تا دیوار برسید؛ سپس به نیمۀ بعدی و به همین ترتیب ، بدون پایان. به نظر می  رسد که هرگز نمی  توانید به دیوار برسید؛ البته واضح است که می  توانید. امروزه فلاسفه بیان می  کنند که در این استدلال اشتباهی رخ داده است. زنو ، با پارادوکس حرکتش ، فکر می  کرد استدلالش بدون نقص است. به نظر می  رسد او دیدگاه متفاوتی نسبت به دیدگاه ما از جهان دارد. قطعاً اشتباهی رخ داده است زیرا زنو بر اساس چنین پارادوکس هایی نتیجه گرفت که هر حرکتی غیرواقعی ست.
همچنین معماهایی وجود دارند که تلاش می  کنند ثابت کنند ما حتی نمی  توانیم حرکت به سوی دیوار را شروع کنیم. قبل از آن که من بتوانم به دیوار برسم ، باید به وسط مسیر برسم. اما پیش از آن باید به نیمۀ نیمه ، یا به یک چهارم مسیر ، برسم و به همین ترتیب. هر فاصله ای را در نظر بگیرید ، نصف آن نیز قابل تصور است. بنابراین ، من نمی  توانم شروع به حرکت کنم. معماهایی مشابه برای حالت سکون نیز وجود دارند. برای اینکه شما در دقیقۀ پیش رو وجود داشته باشید ، باید نیم دقیقۀ آینده وجود داشته باشید و به همین ترتیب. این فواصل زمانی کوتاه می  شوند ولی به پایان نمی رسند.

انجام  بی نهایت حرکت – بدون از نفس افتادن
پارادوکس ها هر موقع گسترشی وجود داشته باشد ، وجود دارند. چه گسترش در زمان باشد و چه در مکان. به نظر می  رسد هر گسترشی می  تواند دوباره و دوباره تقسیم شود. هر گسترشی ، چه فواصل مکانی باشد چه زمانی ، معمایی ست؛ هر گسترشی تا  بی نهایت تقسیم پذیر است. ولی البته که ما حرکت می  کنیم و در گذر زمان وجود داریم. پس به نظر می  رسد هر زمان که کاری انجام می  دهیم و یا حتی وجود داریم ، در حال انجام  بی نهایت کار هستیم. و این  بی نهایت کار را معمولاً بدون اینکه خسته شویم و یا از نفس بیفتیم انجام می  دهیم.
دو فرضیه موجب رسیدن زنو به این نتیجه که هر حرکتی غیر واقعی ست گردید. اول اینکه هر حرکت از  بی نهایت حرکت کوچک تر تشکیل شده است. دوم اینکه هیچ چیزی نمی  تواند  بی نهایت کار را انجام دهد. انجام  بی نهایت کار ، به معنای انجام یک "ابر کار" است که قاعدتاً از توانایی هر کسی خارج است ، حتی خدا. با این حال بسیاری از ریاضی دانان می  پذیرند که یک سری  بی پایان می  تواند پایانی داشته باشد و بنابراین ما می  توانیم تعداد  بی پایانی کار را انجام دهیم. ولی آیا همه چیز به همین سادگی ست؟
سری اعدادی که نشان دهندۀ توالی فواصل بین ما و دیوار مقابلمان است را در نظر بگیرید:
این سری از اعدادی تشکیل شده است که بیشتر و بیشتر به عدد 1 – به دیوار – نزدیک می  شوند. سری به عدد 1 همگرا است. ریاضی دانان "مجموع" یک سری  بی نهایت همگرا را به صورت حدی که توالی مجموع  های جزئی به آن میل می  کنند ، تعریف می  کنند. ولی این تعریف نمی  تواند توضیح دهد چگونه می  توان به نقطۀ همگرایی به وسیلۀ یک سری  بی پایان برسیم. همگرا بودن به معنی رسیدن نیست. برای واضح تر شدن موضوع ، یک حشره را ، که تمایل دارد فقط در یک جهت بپرد ، در نظر بگیرید. فرض کنید سری بالا روی زمین نوشته می  شود. هر عددی از عدد بعد یک اینچ فاصله دارد و اعداد تا بی نهایت ادامه می  یابند. هیچ کس نمی  تواند ادعا کند که حشره ، هرچقدر هم با سرعت بپرد ، در نهایت به عدد یک می  رسد. زیرا عدد 1 در سری نوشته شده وجود ندارد. کسرها بیشتر و بیشتر به 1 نزدیک می  شوند ولی هرگز به آن نمی رسند.

کمی باران و کمی شطرنج
معما از آنجایی شروع می  شود که ما در به کار بستن قوانین و نظریات انتزاعی ریاضیات در جهان اطرافمان ،  بی دقت عمل می  کنیم. معمولاً می  توان مدل  های ریاضی را به گونه ای صحیح در مورد  آنچه انجام می  دهیم به کار برد: در حرکت آشیل به دنبال لاک پشت ، در رسیدن من به دیوار. حتی شبیه سازی  های کامپیوتری می  توانند وضعیت آب و هوایی را پیش بینی کنند. ولی نمی  توانیم نتیجه بگیریم هرچیزی که در شبیه سازی به کار می  رود در مورد آب و هوا هم صحیح است و برعکس. مدل  های کامپیوتری ممکن است از رنگ ها و نمودار های مختلف تشکیل شده باشد ولی این بدین معنی نیست که در آسمان نیز چنین نمودارها و رنگ هایی وجود دارد. وقتی مدل ها بارش باران را پیش بینی می  کنند ، خودشان که خیس نمی شوند.
یک بار دیگر لازم است به لودویگ ویتگنشتاین ، فیلسوف نابغه و رنج کشیدۀ قرن 20 ، رجوع کنیم. او حرکت یک مهرۀ اسب در بازی شطرنج را بررسی می  کند: دو خانه در یک جهت و سپس یک خانه در زاویۀ نود درجه. این برای یک اسب یک حرکت به حساب می  آید. برخلاف  آنچه توصیف شد ، در بازی شطرنج حرکت جزئی برای یک مهرۀ اسب وجود ندارد. اگرچه اسب از خانه  های مختلفی عبور می  کند ، قوانین اجازه نمی دهند حرکت جزئی داشته باشد. در مقابل ، شما می  توانید یک قرص کامل نان بخورید و یا نصف یک قرص. این یک سوءبرداشت است اگر فکر کنیم چون حرکات در بازی شطرنج وجود دارند ، حرکات جزئی نیز باید وجود داشته باشند.
تکه چوبی که مهرۀ اسب از آن ساخته شده است می  تواند یک خانه حرکت کند ولی مهرۀ اسب در بازی شطرنج این اجازه را ندارد.  آنچه برای یک تکه چوب امکان پذیر است برای همان تکه چوب در بازی شطرنج امکان پذیر نیست. بنابراین  آنچه در قوانین انتزاعی ریاضیات امکان پذیر هست یا نیست نمی  تواند این نتیجه را به دست دهد که چه چیزی در جهان واقعی امکان پذیر هست یا نیست. باید به خاطر داشته باشیم که یک مجموعۀ نامتناهی فقط یک مجموعۀ متناهی خیلی بزرگ نیست. انجام یک کار  بی نهایت بار – انجام یک "ابر کار" – فقط مشکل خستگی آور بودن را ندارد؛ بلکه غیر ممکن است. مثالی را که ویتگنشتاین بیان می  کند در نظر بگیرید.
ابتدا افرادی را در نظر بگیرید که اواخر یک مسابقۀ ماراتن هستند و به شدت خسته اند. در مقابل ما سه نفر پایانی مانده اند و به سختی برای رسیدن به خط پایان تلاش می  کنند. این مسابقه برای آنها به شدت خستگی آور بوده است اما انجام آن و به پایان رساندنش با عقل جور در می  آید. حال مثال دیگری را در نظر بگیرید. افرادی در برابر شما شروع به شمردن از یک عددی تا سه عدد ابتدایی اعداد طبیعی می  کنند. آنها تمامی مجموعه اعداد طبیعی را می  شمرند. هر عددی را که فرض کنید عدد بزرگ تری از آن موجود است. انجام چنین کاری معقول نیست.

مأمور پست
در اینجا مثال دیگری را (از آلن هجک) در مورد مشکلات به کار بستن نادرست  بی نهایت در جهان تجربی بیان می  کنیم. مأمور پست قطعاً امروز بین ساعت 8 صبح و 4 بعد از ظهر ، که احتمال آمدنش در این ساعات یکسان است ، خواهد آمد. تا این حد مطمئن بودن ممکن است به نظر غیرعملی بیاید؛ ولی ما مطمئن هستیم و اطمینانمان صحیح است. او خواهد آمد. بنابراین احتمال آمدن او در هر ساعتی بین 8 صبح و 4 بعد از ظهر ، و خود ساعت 4 ، یکسان است. اما ساعت 8 از این بازه خارج است. اگر او دقیقاً 12 ظهر بیاید ، این ساعت به بازۀ زمانی قبل از ظهر تعلق دارد. و اگر دقیقاً 4 بعد از ظهر برسد ، بعد از ظهر آمده است. اگر می  خواستیم شب قبل شرط بندی کنیم که او چه ساعتی خواهد آمد ، عاقلانه بود که بگوییم احتمال آمدن او پیش از ظهر و بعد از ظهر یکسان است. مشکل در ساعت 8 صبح پیش می  آید. هر چقدر هم اختلاف کم باشد ، احتمال آمدن او در بعد ار ظهر بیشتر از صبح است. چون ساعت 8 صبح از بازه خارج است. هر زمانی که او برسد ، حتی چند ثانیه پس از ساعت 8 ، زمانی بین 8 صبح و رسیدن او وجود دارد که باعث می  شود نتیجه بگیریم شرط بستن روی بعد از ظهر عاقلانه تر است.
چگونه این معما را حل کنیم؟ البته  آنچه یک زمانی شرط بستن روی آن عاقلانه به نظر می  رسد ، ممکن است در وقتی دیگر عاقلانه نباشد. احتمال دارد مواقعی پس از ساعت 8 وجود داشته باشند که شرط بستن روی بعد از ظهر عاقلانه به نظر برسد. ولی معما ما را به این نتیجه می  رساند که ما قرار است نظرمان را راجع به هم احتمال بودن آمدن مأمور پست در صبح و بعد از ظهر عوض کنیم؛ پس چرا از همان ابتدا این نظر را داشته باشیم؟ بایستی مثال شطرنج را به خاطر بیاوریم. شاید مشکل مأمور پست با تغییر دادن بازه بندی انتزاعی زمان وقتی اعمال درگیر آن هستند ، حل شود. شرط بندی و فکر کردن زمان می  برد. ممکن است مأمور پست آن قدر زود بیاید که ما زمانی برای تغییر نظر و شرط خود نداشته باشیم. شرط بندی رویِ هم احتمال بودنِ آمدنِ او در صبح و بعد از ظهر ، عاقلانه است.
گئورگ کانتور می  نویسد:
ترس از  بی نهایت ، نوعی نزدیک بینی ست که امکان دیدن نامتنهایی واقعی را از بین می  برد. اگرچه این  بی نهایت ، در عالی ترین شکل خود ، ما را خلق کرده و مراقبمان است. و ، در اشکال پایین ترش ، در تمام محیط اطراف ما رخ می  دهد.
با این حال باید به خاطر داشته باشیم که شرط بندی و مسابقات ماراتن ، پرش حشره ها و تایپ کردن میمون ها وقتی در دنیای واقعی اتفاق بیفتند ، منطقی هستند. تفسیر آنها به زبان انتزاعی ریاضیات ممکن است چیزها را تغییر دهد. تغییر دادن آنها و به کار بستنشان در جهان واقعی ، بدون شک ما را گیج خواهد کرد.

1398/07/30
777