صفحه اصلی    تازه ها    ادبیات    تاریخ و سیاست    روانشناسی و جامعه شناسی    علوم    کودک و نوجوان    متفرقه

ناشر:سبزان
تاريخ چاپ: 1393
نوبت چاپ:اول
تيراژ:2000 نسخه
قيمت:5000 تومان
شابک: 1 - 091 - 117 - 600 - 978      

 

نظریه‌های تاثیرگذار در علم ریاضیات

 

نویسندگان:  مارک هندرسون
       جوآن بیکر
      تونی کرلی
مترجمین: هدا منصوریان تفتی
    سحر عرب‌زاده- دکتر مهدی خاکیان قمی

فهرست مطالب
مقدمه........................................ 5
1- عدد پی.................................... 11
2- عدد اویلر................................. 16
3- بی‌نهایت................................... 21
4- اعداد موهومی .............................. 26
5- اعداد اول ................................. 31
6- اعداد کامل ................................ 36
7- اعداد فیبوناتچی........................... 41
8- مستطیل‌های طلایی............................ 46
9- مثلث پاسکال............................... 52
10- جبر ...................................... 58
11- منطق ..................................... 63
12- اثبات .................................... 68
13- مجموعه‌ها ................................. 73
14- حساب  .................................... 78
15- منحنی‌ها.................................. 83
16- توپولوژی ................................. 88
17- بُعد ...................................... 94
18- فرکتال‌ها................................. 99
19- آشوب ..................................... 104
20- اصل توازی ................................ 109
21- گراف .................................... 114
22- احتمال ................................... 118
23- توزیع احتمالات ............................ 123
24- منحنی نرمال .............................. 127
25- ارتباط داده‌ها............................ 132
26- گروه‌ها................................... 137
27- ماتریس................................... 143
28- کدها ..................................... 148
29- مربع  لاتین................................ 152
30- مسئله رژیم  غذایی......................... 157
31- نظریة بازی............................... 162
32- قضیه  آخر فرما............................ 167
33- فرضیه  ریمان.............................. 172
واژه‏نامه..................................... 177
نمایه........................................ 180

مقدمه
ریاضیات در تصور عموم، پیکر تغییر ناپذیریست از علم، که در طول زمان بر لوح‌های سنگی حک شده است، اما در حقیقت این گونه نیست. درست است که اصول پایه‌ای ریاضیات همچون 4=2+2 در داد و ستد‌های روزمره از دوران باستان تاکنون بدون تغییر باقی ‌مانده، اما نظریات ریاضی، پیوسته در حال بازبینی و به روز شدن می‌باشند. در اعصار مختلف پیشرفت‌های چشمگیری در ریاضیات صورت گرفته و مسائل مهمی حل شده است. اگر چه در زمان ما نیز این علم هم‌چنان در حال پیشرفت است ولی این پیشرفت‌ها، سوالات جدیدی پیش روی ما قرار داده و پاسخ به آنها، آینده ریاضیات را رقم خواهد زد.

کاربرد ریاضیات: ارتباط با جهان پیرامون
ریاضیات به پیشبرد تمام زمینه‌های علمی کمک شایانی کرده است و سایر علوم پنجره‌های دنیای ریاضی را به سوی موضوعات جدید گشوده‏اند. به طور اساسی ریاضیات در قلب علم فیزیک بنا نهاده شد، رشد کرد و اکنون حضورش در علم نسبتاً جوان ژنتیک روز به روز در حال پررنگ‌تر شدن است.
برای درک ارتباط فیزیک (نام جدید فلسفه طبیعی) و ریاضی کافی است به کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» اثر ایزاک نیوتن رجوع کنیم. نیوتن بر این باور بود که همه قوانین فیزیک ذاتاً ساختار ریاضی دارند. جیمز کلرک ماکسول نیز در قرن نوزدهم چهار معادله معروفش را که ارتباط میان الکتریسیته و مغناطیس را از طریق ریاضی نشان می‌دهد بر این موضوع صحه گذاشت. بسیاری نمونه‌های دیگر از این دست، این باور را ایجاد نمود که ریاضیات زبانی است که فیزیک برای بیان پدیده‌ها به کار می‌گیرد. اما ریاضیات این نقش انفعالی را نپذیرفت و حتی توانست خود، موضوعاتی را به علوم دیگر پیشنهاد دهد. به عنوان مثال جان کوچ آدامز ، ستاره‌شناس انگلیسی، در حالی که پشت میزش نشسته بود، تنها با حرکت دادن قلم بر روی کاغذ، سیاره نپتون را کشف کرد.
آر. اِی. فیشر پیشگام ژنتیک عمومی از نظریه تکامل داروین در جهان طبیعی الهام گرفت و کتاب‌هایی درباره «تئوری ژنتیکی انتخاب طبیعی» را در سال 1930 میلادی نگاشت. کارهای وی در چهارچوب آمار و احتمالات قرار داشت و به این ترتیب فرضیه‌های ژنتیکی با استفاده از ریاضیات، دقیق شده‌اند. ارتباط دیگر میان ریاضیات و ژنتیک با کشف ساختار DNA در دهه 1950 میلادی صورت گرفت. همان گونه که یوهان کپلر در قرن هفدهم میلادی با کشف حرکت سیارات بر روی مدارهای بیضوی، ساختار هندسی عظیم منظومه شمسی را بر ما روشن ساخت، فرانسیس کریک و جیمز واتسون در قرن بیستم با کشف دو شکل مارپیچی که به دور هم تاب می‌خورند ، پرده از اسرار ساختار هندسی ظریف حیات برداشتند.

پایه‌های ریاضیات: سیستم اعداد

پایه‌های کاربرد ریاضی در ژنتیک و فیزیک، سیر تکاملی یک ساختار عددی تمام و کمال است. ساختار عددی امروز ما بر پایه سیستم هندی- عربی است که به قرن‌های دور برمی‌گردد که توانایی بیان بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین اعداد را دارد. این سیستم عددی می‌تواند جرم ستاره‌های غول پیکر را پوشش دهد و

هم‏زمان در نانوتکنولوژی، «علم اعداد فوق العاده کوچک» به تبیین کارکردهای  مواد و عناصر وارد شود.
نمی‏توان گفت آنچه ما در ریاضیات کنونی انجام می‌دهیم کاملاً از ساختار ریاضیات پیشینیان متفاوت است. رد پای ریاضیات بابلیان که بر مبنای عدد 60 بوده هنوز هم در اندازه‌گیری زمان، ما را همراهی می‌کند (60 دقیقه در هر ساعت و 60 ثانیه در هر دقیقه). اما اکنون چیزی داریم که مردمان باستان هرگز نداشته‌اند، عددی با ارزش که در عین حال هیچ ارزشی هم ندارد! با وجود تمام دستاوردهای باستانیان، نه یونانی‌ها و نه رومیان مفهومی به نام صفر نداشته‌اند و عدم وجود این عدد توانایی آنها را در انجام محاسبات محدود می‌کرد. ولی ما آن قدر با این عدد خو گرفته‌ایم که کمتر متوجه جایگاه مهم آن می‌شویم. تا آنجا که حتی شاید با خود فکر کنیم صفر در ریاضیات بی‌اهمیت است مانند نقش آپاندیس در بدن! بدون آن هم زندگی ممکن است! اما این اشتباه بزرگی است. صفر ساده و بی‌صدا در محاسبات ما نقش‌های بزرگ و ارزشمندی ایفا می‌کند.
هنگامی که در قرن هفتم میلادی عدد صفر توسط هندیان معرفی شد مشکلات تازه‌ای گریبان‌گیر ریاضیات شد. چگونه می‌توان عددی که به معنی «هیچ» است را در یک سیستم، کنار سایر اعداد قرار داد؟ چگونه می‌توان صفر را در عملیات ریاضی مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم در کنار دیگر اعداد به کار برد.
برای این کار نیاز بود تا قوانین خاصی به عرصه ریاضیات وارد شود و قرن‌ها طول کشید تا حجم وسیعی از این اطلاعات تحلیل شود. عدد صفر لازمه و تکمیل کننده اعداد مشخصه 1 و 2و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9 است تا ساختار امروزی ریاضیات که بر مبنای 10 است، تشکیل شود. برتری سیستم ده‏تایی در مقایسه با سیستم بابلی‌ها و یا سیستم رومیان که بر مبنای سمبل‌هایی چون L , X , V , I   , C

M , D ,  بود اين است كه در سیستم پیشین، گستره اعداد شدیداً محدود بود و محاسبات با مشکل انجام

می‌شد مثلاً سعی کنید عدد CXIII را در عدد XXIX ضرب کنید!
عمل تقسیم تاریخچه پیچیده‏تری دارد. ساختار عمل تقسيم مصریان در حدود 1650 سال قبل از میلاد بر مبنای تقسیمات واحد و تعداد کمی از کسرهایی که از روش تقسیم واحد مستثنی هستند (مانند 3/2) قرار گرفته بود. منظور از تقسیم واحد، کسری است که عدد یک در صورت آن قرار گرفته باشد (مانند 7/1). سیستم آنها بر اساس تقسیمات واحد طرح ریزی شده بود به طور مثال:
1
امروزه این روش بیان تقسیمات به این شکل، هنوز با وجود کنجکاوی و تلاش‏های ما، جزء مسائل حل نشده ریاضیات باقی مانده است.

توسعه مفاهيم رياضي: يونان باستان

گرچه یونانیان باستان سیستم اعداد کارآمدی در اختیار نداشتند اما در ریاضیات درخشیدند. آنها ریاضی را صرف نظر از کاربرد آن در دنیای واقعی ارتقاء بخشیدند. یکی از کشف‌های حائز اهمیت در ریاضیات، کشف اعداد اصم (گنگ) بود. یونانیان در ابتدا بر این باور بودند که اعداد دو دسته‌اند: اعداد صحیح، اعداد گویا (کسری). اما در نظر گرفتن ریشه دوم اعداد این دیدگاه را به چالش کشید. ریشه دوم عددی مثل چهار برابر است با دو، عدد مثبتی که وقتی در خودش ضرب شود دوباره برابر چهار خواهد شد. اما ریشه دوم عددی مثل دو چیست؟ چه عددی است که اگر در خود ضرب شود حاصل دو می‌شود؟ در دستگاه اعداد با مبنای ده، این عدد برابر 414/1 است. زیرا حاصلضرب  این عدد در خودش 999396/1 است. گرچه این عدد بسیار به دو نزدیک است، اما برابر با دو نیست و مسئله این جاست که هرچقدر هم‌ این عدد را با ارقام اعشاری بیشتر حساب کنیم هرگز حاصل برابر دو نخواهد شد. نتیجه این شد که یونانیان تقسیمات خود را به این صورت تغییر دادند که اعداد دو دسته‏اند:

یا عدد صحیح‌اند یا گویا که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل می‌شوند و اعداد اصم مانند ریشه دوم عدد 2. اعداد مشهوری مانند π و e  که در فصل‌های آغازین این کتاب به آنان می‌پردازیم از این نوع اعداد هستند. حائز اهمیت است که  بدانیم بسیاری از این مسائل در ریاضیات محض شکل گرفت، اما اکنون ارزش آنها و کاربردشان برای توصیف جهان واقعی به اثبات رسیده است.
انتخاب سرفصل‌های این کتاب بر اساس درک ایده‌های برجسته ریاضیات و نقش آن در علوم صورت گرفته است. ما مسیر خود را از عدد π  آغاز کرده، گذری بر مباحثی خواهیم داشت که در طی سال‌ها ریاضی‏دانان را به هیجان آورده است و به مسائلی می‌رسیم که ریاضی‏دانان بزرگی برای حل آنها با دشواری‌های بسیار مواجه شده‌اند. مانند اثبات فرضیه‌های ریمان که سنگ بنای ریاضیات را به چالش کشید و یا محدود بودن یا نبودن تعداد اعداد اول که ذهن بسیاری را درگیر خود ساخت. این مسائل و مسائل بسیاری از این دست دوستداران ریاضی را به مبارزه می‌طلبند و این مبارزات سبب می‌شوند که پیشرفت ریاضیات نیز مانند سایر علوم از پای نایستد.

در حالی که اعداد پیکر اصلی ریاضیات را تشکیل می‌دهد، اما ریاضي به مباحث دیگری نیز می‌پردازد. یکی از این مباحث، هندسه است که از نمودهای اصلی ریاضی است. این هنر باستانی که از نظر واژه‏شناسی از Geo به معنای زمین و metry به معنی اندازه‌گیری تشکیل شده اکنون به طور گسترده‌ای توسعه یافته است. سازماندهی هندسه توسط یونانیان باستان در قرن سوم پیش از میلاد آغاز شد. نتایج سازماندهی هندسی اقلیدس در کتاب معروف «اصول هندسه » که با «هندسه متعارف» سروکار داشت، منتشر شد که بر اساس چند اصل موضوع نوشته شده بود. این کتاب قوی‌ترین و معتبرترین مرجع ریاضی تا آن زمان به حساب می‌آمد و طی سالیان متمادی این جایگاه را حفظ کرد تا زمانی که در قرن نوزدهم نوع جدیدی از هندسه که تا حدودی

هم عجیب به نظر می‌رسید با عنوان «هندسه غیراقلیدسی» مورد مطالعه قرار گرفت. ریاضی‏دانان همچنان به این مطالعات هندسی ادامه دادند تا آنجا که ابزاری فراهم آوردند که درک نظریه نسبیت اینشتین را چنان که باید و شاید ممکن ساخت.

وعدة ریاضیات: توسعه مدرن
در قرن بیستم و دهه اول قرن بیست و یکم، نظریه‌های جدید ریاضی به سرعت شکل گرفت. در این میان پیدایش هندسه فرکتالی روش ارزشمندی برای مدل سازی پدیده‌های فیزیکی مثل تشکیل ابرها را فراهم ساخت. فرکتال‌ها اَشکالی هستند که به ابعادی خارج از 1، 2 و 3 بُعدی که در هندسه متداول اعم از اقلیدسی و غیراقلیدسی مورد بررسی است، گام نهاده‌اند. نکته تازه‌ای که در فرکتال‌ها وجود دارد این است که آنها می‌توانند بُعدی بین این اعداد صحیح داشته باشند. به عنون مثال یک فرکتال می‌تواند بُعد 262/1 را اختیار کند.
امروزه نظریه احتمالات راه مناسبی برای محاسبه عدم قطعیت است. اولین بار گمبلر در قرن هفدهم میلادی این نظریه را برای تحلیل بازی‌هایی که مبتنی بر شانس بود به کار برد. اما امروزه این نظریه به همراه نظریه آمار به هم پیوسته‌اند تا ابزاری برای توصیف طیف وسیعی از مسائل و موقعیت‌ها فراهم آورند، در حالی که کار گمبلر تنها بخش کوچکی از این مسائل را پوشش می‌داد.
امروزه دایره‏المعارف‏های کاملی وجود دارند که مطالب زیادی را به طور خلاصه در هزاران صفحه در خود جای داده‏اند. در این کتاب‏ها مباحث بسیاری بحث شده است؛ نظریة گروه‏ها، مجموعه‏ها، گراف، احتمال، ماتریس‏ها، ریخت‏شناسی یا توپولوژی، انواع مختلف منطق و بسیاری چیز‏های دیگر. بسیاری از این موارد در ریاضیات رشد کرده‏اند ولی در مرحلة کاربرد ارزش و اهمیت آنها شناخته شده است.

انتخاب رئوس مطالب در این کتاب به گونه‏ای انجام

شده است که سیر زمانی و تحولّی بخش‏های مختلف ریاضیات را برای خواننده روشن کند. ما این سیر را از عدد پی شروع می‏کنیم که به رئوس مطالبی که ریاضی‏دانان را در طول اعصار به خود مشغول کرده بود پیوند خورده است. این مشغولیت‏ها ریاضی‏دانان نامی بزرگی را درگیر مطالب مختلف ریاضیات کرده است تا در انتها به نظریة ریسمان می‏رسیم. نظریه‏ای که ما را به سنگ‏بناهای اولیة ریاضیات رهنمون می‏شود. این نظریات تا به انتها شامل اعداد اول، اعدادی که فقط بر خود و بر یک بخش‏پذیر هستند می‏شود. این مسئله و بسیاری مسائل دیگر مثل ژنتیک و فیزیک با جزئیات بیشتر بررسی می‏شوند و نشان داده می‏شود که اینها بدون ریاضیات نمی‏توانند سرپای خود بایستند.

نوار زمان

30000 سال پیش از میلاد

مردم دوره عصر حجر در اروپا اعداد را با نشانه گذاری بر استخوان ایجاد کردند.

2000 سال پیش از میلاد

بابلیان علائمی برای اعداد به کار برده و متوجه شدند عدد π تقریباً برابر3 است.

300 سال پیش از میلاد

«اصول هندسه» اقلیدس تألیف شد. او اثبات کرد تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

1202میلادی:

لئوناردو فیبوناتچی «کتاب حساب » را منتشر کرد و دنباله اعداد فیبوناتچی را معرفی کرد.

دهه 1650 میلادی:

کریستین هویگنس و بلاسی پاسکال درباره پیدایش نظریه احتمالات به مباحثه پرداختند.

دهه 1660 و 1670 میلادی

ایزاک نیوتن و گاتفرید لایب نیتز اولین گام‌ها را در حساب دیفرانسیل و انتگرال برداشتند.

1733 میلادی:

آبراهام دموار نتایج مطالعاتش را بر روی توزیع نرمال که تقریبی برای توزیع دو جمله‌ای در احتمالات است منتشر کرد.

1735 میلادی:

لئونارد اویلر با حل مسئله پل کونیگسبرگ راهی برای نظریه گراف‌ها فراهم کرد.

1870 میلادی:

لئونارد اویلر به مطالعه مربع لاتین پرداخت که می‌توان آن را جَد جدول سودوکو امروزی دانست.

1801 میلادی:

کارل فردریش گاوس کتاب «پژوهشی در اعداد » را منتشر ساخت که شامل روش ساخت 17 وجهی منتظم با خط کش و پرگار بود.

1874 میلادی:

جورج کانتور مفهوم بحث برانگیز بی‌نهایت را مطرح کرد و مراتب مختلف بی‏نهایت را مشخص کرد.

دهه 1880 میلادی:

فرانسیس گالتون یکی از عموزادگان چارلز داروین ایده‌های رگرسیون و همبستگی در آمار را معرفی کرد.

1882 میلادی:

فردیناند فون لیندمن اثبات کرد عدد π یک عدد غیر جبری است و متعاقباً "مربع کردن دایره" غیر ممکن است.

1889 میلادی:

هنری پوانکاره نظریه آشوب را در پی جایزه‌ای که اسکار دوم، پادشاه سوئد برای حل مسئله پایداری منظومه شمسی در نظر گرفته بود، کشف کرد.

1890 میلادی:

جوزپه پینو منحنی معروف پینو را بنا نهاد و سبب اصلاحات اساسی در نظریه منحنی‌ها شد.

1900 میلادی:

دیوید هیلبرت 23 مسئله معروف را به عنوان دستور کار ریاضی‏دانان در قرن بیستم پیشنهاد داد.

1930 میلادی:

بارتل وان در وردن کتاب مشهور خود را به نام «جبر مدرن» منتشر کرد که مجموعه‌ای از روش‌ها در جبر جدید بود.

1931 میلادی:

کورت گودل اثبات کرد که ممکن است یک سیستم ریاضی صوری شامل گزاره‌های تعمیم ناپذیر باشد.

1946 میلادی:

انیاک ، اولین رایانه الکترونیکی با اهداف کلی مورد استفاده قرار گرفت.

1947 میلادی:

جورج دنتزیگ نظریه برنامه نویسی خطی را طرح ریزی کرد و الگوریتم سیمپلکس را فرمول بندی کرد.

1975 میلادی:

بنویت مندلبروت   فرکتال‌های هندسی را معرفی کرد و کاربردهای وسیع آنها را نشان داد.

1983 میلادی:

طبقه‌بندی گروه‌های ساده با بعد محدود صورت گرفت و در نهایت نظریه‌ای که «قضیه بزرگ » نامیده شد، شکل گرفت

1994 میلادی:

جان اف نش جایزه نوبل اقتصاد را به دلیل فعالیت‌هایش در زمینه «نظریه بازی» دریافت کرد.

1994 میلادی:

اندرو وایلز قضیه آخر «فرما» را به اثبات رساند و جایزه ولفسکل را از آن خود ساخت.

2002 میلادی:

گریگوری پرلمان حدس پوانکاره را با پایه‌گذاری نتایج در سه بُعد، تکمیل کرد.

1 عدد پی


پی معروف‌ترین عدد در جهان ریاضیات است. اگر تمام ثوابت طبیعت را طبقه‌بندی کنیم، پی همیشه در صدر این طبقه‌بندی قرار دارد. اگر در دنیای اعداد هم جایزه اسکار وجود داشت، پی هرسال برنده این جایزه می‌شد.

اگر دور تا دور یک دایره (محیط) و هم‌چنین خطی که از دو سوی آن و از مرکز می‌گذرد (قطر) را برای دوایر مختلف اندازه بگیریم و این دو عدد را به هم تقسیم کنیم، خواهیم دید که حاصل این تقسیم به اندازه دایره بستگی ندارد. این مقدار همان عدد π (پی) است. که حقیقتاً یک ثابت ریاضی است و برای دوایر کوچک یا بزرگ هیچ تفاوتی ندارد. با این‏که دایره زادگاه طبیعی عدد π است، اما در هر مکانی در ریاضیات ممکن است دیده شود که البته چندان هم با دایره غیر مرتبط نیست.

ارشمیدس
نسبت محیط دایره به قطر آن یک موضوع تاریخی است. 2000 سال پیش از میلاد مسیح، بابلیان دریافتند که محیط دایره تقریباً سه برابر قطر آن است. اما این ارشمیدس بود که در حدود 225 سال پیش از میلاد به صورت جدی و ریاضی به بررسی عدد π پرداخت.
ریاضی‏دانان که علاقه شدیدی به مقایسه همکاران‏شان دارند ارشمیدس را، هم‌رتبه کارل فردریش گاوس  (سلطان ریاضیات) و سِر ایزاک نیوتن می‌دانند. گذشته از عادلانه بودن یا نبودن این قضاوت، واضح است که نام ارشمیدس در زمره بزرگان ریاضیات قرار دارد. او در بسیاری زمینه‌ها مانند نجوم، فیزیک، ریاضیات درخشید و حتی با طراحی سلاح‌های جنگی اهرمی، منجنیق و «آینه‌های سوزان » کمک شایانی در دفاع از سیراکوز (در مقابله با رومیان) کرد . اما با وجود تمام نظریات متفکرانه و ابتکارات شگفت، گاهی اعمالی احمقانه از وی سر می‌زد که دور از شأن یک اندیشمند بود. چه چیزی باعث گردید به او این انگیزه القا شود تا به هنگام کشف قانون بالابری هیدرواستاتیک، عریان از حمام بیرون دویده در خیابان فریاد بکشد: «اورکا ». در حالی که هیجان زدگی وی برای کار بر روی عدد π در تاریخ ثبت نشده است.
π بر اساس نسبت محیط به قطر دایره تعریف شده بود. پس نقش این عدد در مساحت دایره چیست؟ مساحت دایره‌ای به شعاع r برابر است با π r2 که این نیز استنتاجی است از عددی ثابت که از نسبت محیط به قطر به دست آمده، اگر چه اکنون خود، تعریفی شناخته شده‌تر است. π  در حقیقت دو نقش قابل توجه در محیط و مساحت ایفا می‌کند. برای به دست آوردن اندازه مساحت دایره، آن را به مثلث‌های باریک به طول قاعده b و ارتفاعی تقریباً برابر شعاع r تقسیم بندی می‌کنیم.

1

 

b

  1

 

   

این مثلث‌ها درون دایره، تشکیل یک چند ضلعی می‌دهند که مساحت آن تقریباً برابر با مساحت دایره است. اجازه بدهید با 1000 مثلث شروع کنیم. تمام این روند یک تمرین تقریبی برای به دست آوردن مساحت دایره است. می‌توانیم با مجاور قرار دادن هر دو مثلث، یک مستطیل تشکیل دهیم که مساحت آن برابر b×r است که به این ترتیب مساحت چند ضلعی ما، برابر 500×b×r می‌شود. محیط چند ضلعی که تقریباً برابر محیط دایره است برابر 1  است پس 1  تقریباً با نصف محیط دایره یعنی πr برابر است. بنابراین مساحت چند ضلعی ما از ضرب نصف محیط در شعاع حاصل می‌شود πr×r=πr2
هر چه تعداد مثلث‌ها را بیشتر کنیم، مساحت چند ضلعی ایجاد شده به مساحت دایره نزدیک‌تر شده و اختلاف نتیجه از  πr2 کمتر خواهد شد.
ارشمیدس محاسباتش را دقیق و دقیق‌تر کرد و اثبات کرد عدد π مابین دو عدد  1  و 1  قرار دارد. از اینجاست که ما تقریب آشنای 1  را مرهون ارشمیدس هستیم.
در قرن هجدهم افتخار انتخاب سمبل π نصیب ویلیام جونز ، ریاضی‌دان اهل ولز شد و لئونارد اویلر باعث معروف شدن این عدد  به عنوان نسبت دایره شد.

مقدار دقیق‏تر عدد π

ما هیچگاه مقدار عدد π را نخواهیم دانست! چون یک

عدد گنگ است. این حقیقت را یوهان لمبرت در سال 1768 اثبات کرد. اعشار این عدد بی‌انتهاست و از هیچ الگوی خاصی پیروی نمی‌کند. بیست رقم اول اعشار این عدد عبارتند از 14159265358979323846/3.
مقدار 1 استفاده شده توسط ریاضی‏دانان چینی برابر 16227766016837933199/3 است و این مقدار 500 سال پس از میلاد توسط براهماگوپتا  تایید شد که البته از تقریب غیر دقیق 3 است. زیرا فقط در رقم دوم اعشار با مقدار π متفاوت است.
π می‌تواند با استفاده از بسط‌هایی محاسبه شود که یکی از معروف‌ترین آنها عبارت است از:
1
که البته این سری به طور آزار دهنده‌ای به آهستگی با عدد π همگرا می‌شود که در هنگام محاسبه منجر به ناامیدی کاربر می‌شود! برای حل این موضوع اویلر سری دیگری یافت که به صورت قابل توجهی در نزدیک شدن به عدد π موفق بود:
1
نابغة خود آموختة ریاضیات سرینیواسا رامانوجان ، یک فرمول تقریبی غیر عادی برای π ابداع کرد که فقط شامل ریشه دوم عدد 2 است
1
که از هفتمین رقم اعشار با π متفاوت است.

ریاضی‏دانان مجذوب عدد π هستند. هنگامی که لمبرت ثابت کرد که نمی‌توان آن را در غالب یک کسر نشان داد، در سال 1882 ریاضی‌دان آلمانی، فردیناند فون لیندمن ، برجسته‌ترین مسئله درباره π را حل کرد.

او نشان داد که π بیان جبری ندارد یعنی نمی‌تواند نتیجه یک معادله جبری باشد (معادله‌ای که فقط شامل توان‌های x باشد). با حل این معما، وی توانست پاسخ سؤال «مربع کردن دایره» را بیابد. سؤال مذکور این بود که آیا می‌توان تنها با داشتن یک دایره، یک پرگار و یک خط کش، مربعی دقیقاً هم مساحت با دایره ساخت؟ لیندمن اثبات کرد که ابداً نمی‌توان این کار را انجام داد و باعث شد امروزه عبارت مربع کردن دایره، در بین ریاضی‌دانان، به کنایه در مورد کارهای غیرممکن به کار رود.

و...

واژه‌نامه
اعداد اول: اعدادي كه تنها به يك و خودشان بخش‌پذيرند. به طور مثال 7 عدد اول است اما 6 خير. زيرا، 1  بنابراين 6 به جز يك و خودش به دو عدد ديگر نيز بخش‌پذير است.
اعداد اول دوتايي (دوقلو): اعداد اولي كه حداکثر يك واحد با يكديگر اختلاف داشته باشند. به طور مثال 11 و 13 اعداد اول دوقلو هستند. اينكه تعداد اين دو قلوها محدود است يا خير هنوز مشخص نيست.
اعداد گنگ (اصم): اعدادي كه نمي‌توان آنها را به صورت يك كسر با صورت و مخرج صحيح نوشت (مانند 1 ).
 (اعداد) موهومي: اعدادي كه مضربي از عدد موهومي 1  باشند. اين اعداد هنگامي كه با اعداد حقيقي جمع مي‌شوند تشكيل اعداد مختلط را مي‌دهند.
اصول: گزاره‌هايي كه يك سيستم را تعريف مي‌كنند. در يونان باستان از «فرضيه» براي چنين مفهومي استفاده مي‌شد. براي يونانيان باستان فرضيه يك حقيقت بديهي بود.
انتگرال‌گيري: يكي از عمليات پايه در حساب كه مساحت زير يك منحني را به دست مي‌دهد. مي‌توان نشان داد كه انتگرال‌گيري عمل معكوس مشتق‌گيري است.
تقارن: نوعي نظم كه در يك شكل وجود دارد. مثلاً اگر يك شكل را بچرخانيم و باز همان شكل اوليه را داشته باشد (مثل دايره) اين شكل تقارن دوراني دارد و يا اگر تصوير يك شكل در آينه همانند خود آن شكل باشد، تقارن آينه‌اي دارد.

تناظر يك به يك: ماهيت يك رابطه به گونه‌اي كه هر

عضو از يك مجموعه متناظر فقط يك عضو از مجموعه ديگر باشد و بالعكس.
توان: نمادي كه در علم حساب از آن استفاده مي‌شود. حاصل‌ضرب يك عدد در خودش به صورت 1  نوشته مي‌شود كه به 2، توان گفته مي‌شود. همچنين اين قاعده را مي‌توان در مورد 1  به كار برد. با اين نمادگزاري قابليت تعميم دارد به طوري كه به عنوان مثال 1  يعني ريشه دوم a . به توان، نما نيز گفته مي‌شود.
توزيع: محدوده‌ي احتمالات يك رويداد كه در يك آزمايش يا پديده رخ مي‌دهد. به طور مثال توزيع پواسون احتمال x رخ دادن يك رويداد نادر را به ازاي مقادير مختلف x مي‌دهد.
جبر: استفاده از نمادها به جاي اعداد است به طوري كه در تعميم علم حساب به كار گرفته مي‌شود. امروزه جبر كاربرد عمومي در تمام رياضيات دارد. كلمه «جبر» ريشه‌ي عربي دارد كه از متني در 9 سال پيش از ميلاد برگرفته شده است.
چند وجهي: جسمي با چندين وجه. مثلاً چهاروجهي شكلي است با چهار وجه مثلثي و مكعب شكلي است با شش وجه مربعي.
چهارتايي‌ها (Quaternions) : اعداد موهومي چهاربعدي كه توسط سر هاميلتون ابداع شد.
ديفرانسيل‌گيري: يكي از عمليات پايه در علم حساب كه مشتق و يا آهنگ تغييرات را به ما مي‌دهد. به طور مثال در مورد تغييرات فاصله نسبت به زمان، مشتق‌گيري به ما سرعت را مي‌دهد و مشتق سرعت نسبت به زمان شتاب را مي‌دهد.
عدد اصلي: تعداد اعضاي يك مجموعه. به طور مثال عدد اصلي مجموعه 1 ، 5 است. البته عدد اصلي در مجموعه‌هايي با بي‌نهايت عضو هم مي‌توان معني پيدا كند.

فرضيه: گزاره‌اي كه از روي تجربه مطرح مي‌شود و در انتظار اثبات يا رد آن هستيم و ارزش رياضي آن هم

اندازه‌ي «حدس» است.
قضيه: گزاره‌اي كه حقيقت پذيرفته شده‌اي را بيان مي‌كند.
قضيه فيثاغورس: در يك مثلث قائم‌الزاويه كه طول وتر z و طول اضلاع قائمه x و y باشد بين x و y و z رابطه 1  برقرار است.
گسسته: عبارتي است متضاد «پيوسته». مقادير گسسته ميانشان فاصله وجود دارد مانند فاصله‌اي كه ميان اعداد طبيعي 1، 2، 3 و ... وجود دارد.
ماتريس: آرايه‌اي از اعداد و يا نمادها كه در يك مربع و يا مستطيل قرار مي‌گيرند. اين آرايه‌ها قابليت جمع شدن با يكديگر و ضرب شدن در يكديگر را دارند و تشكيل يك سيستم جبري را مي‌دهند.
مثال نقض: يك مثال كه يك گزاره را رد مي‌كند. گزاره‌ي «همه‌ي قوها سفيد هستند» را در نظر بگيريد. يك قوي سياه مثال نقضي براي اين گزاره است.
مجموعه: مجموعه‌اي از اشيا، به طور مثال مجموعه مبلمان با نام F  به شرح زير مي‌تواند باشد.
}مبلمان راحتي و مبل و ميز و صندلي { = F
محورهاي x-y : ايده‌اي كه توسط رنه دكارت ابداع شد. در اين روش نقاطي كه داراي دو مختصه x و y هستند در صفحه مختصات كه محور افقي آن x و محور عمودي آن y است نمايش داده مي‌شوند.
معادله ديوفانتين: معادله‌اي كه جواب‌هاي آن بايد حتماً اعداد صحيح نامنفي و در برخي موارد اعداد كسري باشند. اين معادلات به افتخار رياضي‌دان يونان باستان، ديوفانتين از اسكندريه (250 پيش از ميلاد مسيح) نام‌گذاري شد.
مقسوم عليه: عدد طبيعي كه اگر عددي ديگر بر آن تقسيم شود حاصل تقسیم عددي طبيعي شود. مثلاً 2 براي 6 يك مقسوم عليه است زيرا 1 ، و همچنين 3 براي 6.

مقطع مخروطي: نامي است براي مجموعه‌اي از منحني‌هاي كلاسيك كه شامل دايره، خط راست، بيضي، سهمي و

هذلولي مي‌شود. هر كدام از اين اشكال با قطع مقطعي از مخروط به دست مي‌آيند.
نظريه آشوب: نظريه سيستم‌هاي ديناميكي كه در ظاهر کاتوره‏ای هستند اما در درون قاعده‌مندند.
نمودار آرگاند: روش تصويري براي نشان دادن صفحه‌ي دوبعدي اعداد مختلط
نمودارهاي ون: نمودارهاي حبابي شكل كه در نظريه مجموعه‌ها به كار گرفته مي‌شود.
هندسه: در بسياري از بخش‌هاي رياضي وارد شده و اكنون محدوديت‌هاي مفهومي كه در گذشته داشته، ندارد.
هندسه: مبحثي كه در آن با خطوط، اشكال و فضاها كار مي‌كنند. اين موضوع در كتاب «اصول» اقليدس در قرن سوم پيش از ميلاد پايه‌ريزي شد.

نمایه
آ
آبل، نیلز 60 , 140
آشوب 104, 106, 108, 179
آمار20, 82, 124, 127, 129
آونگ 107-105
ابرفضا 96
ابعاد, 46, 61, 95-93, 98-97
اثبات 14-12, 19, 30, 34-33, 37, 60, 66, 72-68, 77-76, 93, 111-110, 116, 143-141, 154, 168-167, 171-170, 176-174, 178
اثر پروانه‏ای 104 , 106
احتمال 118
احتمالات 20, 78, 119, 124-122, 126, 130, 165, 178
ارتباط داده‌ها 132
ارسطو 63
ارشمیدس 12-11, 15, 32
استدلال 22, 66-63, 71-70, 111, 171
استنباط 104, 122
استوکس ، جورج گابریل 107
اصل اقلیدس 112
اصل توازی 77, 109
اصل موضوع 73, 110, 121, 140
اصول موضوعی زرملو-فرانکل 77-76
اعداد اصم 19-18 , 24 , 177
اعداد اعشاری 25
اعداد اول 38-31, 40, 44, 151, 170, 172, 177-176

  -159
برنولی ، ژاکوب 16 , 85
بطری کلین 92
بعد 94
بعد کسری 103-102
بنفورد ، فرانک 123 , 126-125
بورباکی ، نیکولاس 73
بی‏نهایت, 21 , 178
بیست وجهی 89
بیضی 84-83 , 179
پ
پاسکال ، پلاس 52 , 119
پنهان سازی 151
پوانکاره ، هنری 93-92 , 101 , 172
پی 11
پیش بینی آب و هوا 107-106
ت
تئوری آشوب 104
تئوری گودل 76
تابع زتا 176-174
تقارن آينه‌اي 177
تقارن دورانی 137, 138, 139 , 177
تقسیم 12-11, 17, 23, 26, 28, 32, 43, 45, 47, 62, 82-81, 86, 91, 101, 151, 155, 173
تناظر یک به یک 23-21
توان 19, 28-26, 38, 48, 60, 73-72, 82, 145, 151, 174, 177
توپولوژی 89-87, 92-91, 97
توزيع 178
توزیع احتمالات 123
توزیع پواسون, 20, 124 , 178
ث
ثابت گلفاند 19
ج
جبر 53, 62-57, 65, 66, 74, 92, 97, 140, 143, 147-145, 162, 170, 178
جردن ،کامیل 86
چ
چهار وجهی 54 , 88 , 89 , 91-90
چهارتایی‏ها 61
ح
حرکت 25-24, 56, 59, 73, 79, 86-83, 94, 107-104, 115, 128, 132, 143, 145, 162, 165
حساب 19, 26, 28, 37, 42, 44, 48, 55, 59, 61, 73, 79-78, 82, 87, 91-90, 101-100, 105, 110-109, 112, 140, 144-143, 147, 151, 159-158, 167, 172, 178-177
د
داوینچی، لئوناردو 50, 85, 94
دایره 11, 12, 13, 29, 83, 84, 86, 101, 120, 126 , 177 , 179
دکارت ، رنه 26 , 38 , 40 , 86-85
دنباله فیبوناتچی 45-41, 48
دوازده وجهی 89
دومورگان ، آگوستوس 65 , 71 , 74
دی ان ایDNA 85
دیفرانسیل (مشتق) 78 , 101

 

اعداد اول دوقلو (دوتایی) 34 , 177
اعداد حقیقی 25-24, 29-27, 73, 77-76, 100
اعداد فیبوناتچی 41
اعداد کامل 39-36
اعداد کسری 18
اعداد گویا 25-23, 76
اعداد مثلثی 54
اعداد مختلط 29-26, 61, 101-100, 175-174, 177, 179
اعداد مرسن 39-38
اعداد منفی 26
اعداد موافق 36, 39
اعداد موهومی26, 27, 35 , 178
اقليدس 179
الگوریتم 10, 161
انتگرال 62, 78, 82-81
اویلر ، لئونارد 12 , 19 , 40 , 114 , 151 , 154-153 , 170 , 174
اینشتین ، آلبرت 78 , 112
ب
برفدانه کخ 103-101

برنامه ریزی خطی 157 ,

ر
راسل ، برتراند 75
روش غیر مستقیم 70, 72
روش مستقیم 58, 68
ریمان ، برنارد 174
ز
زوایا 88, 89
س
سری‏ها 56, 173, 174
سزار ، ژولیوس 148 , 150
سه پایه‏ای 141-137
سه پره‏ای 138
سهمی 86-83, 170 , 179
سودوکو 9, 152
سیستم دو دویی (باینری) 148
ش
شمارش 23-21, 31, 33, 54, 91, 117, 123, 126-125
شهود گلدباخ 34
ض
ضرب 12-11, 16, 30-26, 35, 61, 106, 119, 124, 139, 141-140, 146-143, 151, 168, 178
ع
عدد اویلر16
ف
فرضیه 70, 77, 172, 176-174
فرضیه ریمان 172 , 174 , 176
فرکتال‏ها 101-99 , 103
فرما ، پیر دو 168-167 , 170
فرمول اویلر 90
فون لیندمن ، فردیناند 13 , 19 , 171
فون نیومن ، جان 162
ق
قضایا 34 , 60 , 82 , 99 , 110 , 140
قضیه 31, 34-33, 68, 77-76, 82, 86, 95, 107, 112-111, 116-115, 118, 129-128, 135, 141, 147, 151, 162, 165, 168-167, 172-170
قضیه آخر فرما 167 , 172-171
قضیه پیوستار 77
قضیه حد مرکزی 129
قضیه دست دادن 115
قضیه فیثاغورس 168, 171 , 178
قضیه مینی ماکس 162
قیاس 64
ک
کاردینال (عدد اصلی) 23
کارل فردریش گاوس 11, 33, 127
کانتور ، جورج 23-22 , 25 , 73 , 75 , 77
کد مورس 148
کدها 148
كسر 177
کیلی ، آرتور 96 , 101 , 117 , 139
گ
گالتون ، فرانسیس 132 , 135
گالیله ، گالیلئو 81-80
گراسمن ، هرمان 61
گراف 114
گراف‏ها 71 , 106 , 117-114
گراف‏های غیر مسطح 116
گرانش 79, 112
گروه‌ها 137

گسسته 123, 178
ل
لئوناردو (فیبوناتچی) 42
لاپلاس ، مارکوس پییر سیمون دو 104 , 127
لایب نیتز ، گاتفرید 56 , 78
لژاندر ، آدرین ماری 111 , 170
لگاریتم 16
م
ماتریس 143 , 178
مارپیچ لگاریتمی 85
مثال نقض 64, 69-68, 178
مثلث پاسکال 57-52 , 130
مثلث سرپینسکی 102
مثلث‏ها 12 , 51 , 95 , 102 , 168
مجموعه مندلبروت 99, 100
مجموعه‌ها 73
مربع جادویی 153
مربع کردن دایره 13, 171
مربع لاتین 155-152
مربع‏های جادویی 153
مسئله رژیم غذایی 157
مساحت 12, 14, 81, 102-101, 130, 177
مستطیل ابر طلایی 51-50
مستطیل، نسبت طلایی 44-43 , 46 , 50-48
معادلات 19, 26, 60-57, 86, 107-106, 168-167, 179
معادلات خطی 59, 107
معادلات دیوفانتین 168
معادلات نویر- استوکس 107
مقاطع مخروطی 84-83, 86
مقسوم علیه 40
منحنی زنجیره‏ای 85
منحنی نرمال 127, 130-129
منحنی‌ها 83
منطق 60, 68-63, 72, 74, 78, 162
میانگین 130-129, 136-135
ن
نرمال 20 , 127 , 130-129
نسبت طلایی 44-43, 50-48
نش ، جان 164
نظریه بازی 162 , 164
نظریه ریسمان 95, 98
نظریه گروه 137, 140
نمودار آرگاند 28, 179
نوار موبیوس 92-91
نیوتون ، ایزاک 11 , 79-78 , 81 , 86 , 95
و
ویلز ، آندرو 171
هـ
هاردی ، جی. اچ. 53 , 176-175
هالموس ، پل 70
هامیلتون ، سر ویلیام روان 30-29 , 61
هذلولی 83 , 112
هشت وجهی 89
همبستگی پییرسون 133-132 , 135
هندسه اقلیدسی 89, 98, 110-109, 112
هندسه بیضوی 112
هیلبرت ، دیوید 77 , 98 , 196